Gyong

1. 행렬

행렬이란 숫자나 상징, 표현을 직사각형 또는 정사각형 모양으로 m행과 n열로 배열하고 괄호로 묶은 것을 말한다.

행렬에 대한 구분은 행(가로)과 열(세로)로 구분을 하여 각각의 원소를 표현하고 있다.

행렬의 일반적인 모습은 다음과 같다.

행렬의 종류에는 여러가지가 존재한다.

행렬을 여러가지 종류로 나누어서 관리를 하는 이유는 먼저 생각을 해보면 Data에 대한 계산 처리를

단일화된 일반적인 행렬로 계산을 하는 것 보다, 계산과정의 단순화를 이루기 위해서 여러가지 형태로

나누어서 관리를 하는 것이다.

그럼 이와 같은 행렬의 종류에서 게임에서 주로 쓰이는 행렬 몇가지만 알아보자.

• 정방 행렬, 정사각형 행렬 : 행과 열의 개수가 n개로 같은 행렬

• 단위 행렬, 항등 행렬 : 주 대각성분이 모두 1이고, 그외 성분이 모두 0인 정방행렬

• 영 행렬 : 모든 원소가 0인 행렬

A + 0 = 0 + A = A

A 0 = 0 A = 0

행렬 덧셈의 항등원으로써, 마치 수 0처럼 행동 함

• 전치 행렬

• 역 행렬

즉, AB = BA = i일 때 B는 A의 역행렬

실수에서의 곱셈 역원과 유사함

• 대각 행렬 : 주 대각선 원소들을 제외하고, 나머지 모든 원소들이 0인 정방행렬

1. 선형성

선형성이란 직선처럼 똑바른 도형, 또는 그와 비슷한 성질을 갖는 대상이라는 뜻으로, 함수의 경우 그 모양이

'직선'이라는 의미로 사용된다. 수학에서 선형성의 정의는 다음과 같다.

임의의 수 x, y와 함수 f에 대해 아래 두 조건을 동시에 만족해야 한다.

• 중첩의 원리 : f(x+y) = f(x) + f(y)
• 균질성 : 임의의 수 a에 대해 f(ax) = af(x)

위 조건을 만족하는 예로는 1차 다항함수(y=mx), 미분/적분연산 등이 있습니다. 또한 행렬과 벡터 곱셈도 선형성을

가집니다. 다만 여기서 주의해야할 것은 원점을 지나지 않는 직선의 방정식(예를 들면 y=2x+1)은 위 선형성 조건에 위배됨을 확인할 수 있습니다. 원점을 통과하지 않는 직선에 굳이 선형성을 정의하려면

"x의 변화량과 y의 변화량에 선형성이 있다" 라고 정의하면 된다.

1. 데카르트 좌표계

데카르트 좌표를 사용하면 평면 또는 3차원 공간에 점의 위치를 지정할 수 있다. 한 점의 데카르트 좌표는

좌표 축에서 지정된 거리를 지정하는 한 쌍 2차원 또는 3차원이다.

평면의 데카르트 좌표는 아래 그림과 같이 x 좌표 축과 y 좌표 축 단위로 지정된다.

기준점은 x축과 y축의 교차점이다. 평면 내 점의 데카르트 좌표는 (x, y)로 표기한다. 첫 번째 숫자 x는 x축 방향의 

원점에서 부호화된 거리이므로 x-좌표 또는 x-구성요소 라고 불린다. x좌표는 y축의 오른쪽 또는 왼쪽까지의 거리를

지정한다. 마찬가지로 두 번째 숫자 y를 y축 방향의 원점에서 부호화된 거리이므로 y축이라고 하는데,

y축은 x축 위(Y가 양의 경우) 아래(Y가 음의 경우) 거리를 명시한다. 다음 그림에는 좌표(-3,2)가 있는데, 지점은 왼쪽으로

3단위, 원점에서 위로 2단위가 있기 때문이다.

아래 그림은 평면의 한 점에 대한 데카르트 좌표를 보여준다. 위의 수치와 비슷하지만, 오직 그점만 바꿀 수 있다.

그림의 데카르트 좌표 파란색 점의 데카르트 좌표(x, y)는 x축과 y축의 교차점인 원점에 상대적인 위치를 지정한다.

2. 3차원 공간의 데카르트 좌표계

3차원 공간에서 데카르트 좌표계는 아래 그림과 같이 x 축, y축, z 축의 세 가지 상호 수칙 좌표 축을 기반으로 한다.

세 축은 원점이라고 불리는 지점에서 교차한다. 그 기준점은 방 한구석의 벽이 바닥과 만나는 지점이라고 생각하면 된다.

x축은 왼쪽 벽과 바닥이 교차하는 수평선, y축은 오른쪽 벽과 바닥이 교차하는 수평선, z축은 벽이 교차하는 수직선이다.

방 안에 서 있는 동안 보이는 선의 부분은 아래 사진에 x, y, z로 표시된 각 축의 절반으로 표시된 각 축의 양의 부분이다.

이 축의 음의 부분은 아래에 각 축의 레이블이없는 반쪽으로 표시되는 방 외부의 선의 연속이다.

3차원 데카르트 좌표 축. 3차원 데카르트 좌표계의 세 축을 나타낸 것이다. 양수 x축, 양수 y축, 양수 z축은 x, y, z로 표시된 측면이다. 기준점은 모든 축의 교차점이다. 원점 반대편(분류되지 않은 쪽)에 있는 각 축의 분기는 음의 부분이다.

1. 데카르트 곱

X에서 Y로 가는 함수 f는 데카르트 곱 X x Y의 부분집합 중 다음 조건을 만족하는 부분집합으로 정의한다.

• 임의의 X의 원소는 부분집합의 순서쌍의 첫 번째 요소이다.
• 임의의 X의 원소가 첫 번째 요소인 순서쌍은 유일하다.

데카르트 곱은 두 집합으로부터 각각 원소를 하나씩 고른 순서쌍으로 이루어진 집합을 만들어주는 연산이다.

일반적으로 두 집합의 데카르트 곱을 고려하며,

집합 A, B가 공집합이 아닐 때 A, B의 데카르트 곱은 다음과 같이 정의된다.

A x B = { (x, y) | x ∈ A 이고 y ∈ B }

즉, A x B는 A의 원소가 첫 번째 원소, B의 원소가 두 번째 원소인 순서쌍들의 집합이다.

예를들어 A = { a, b, c}, B ={ 1, 2 } 이면 

A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }가 된다.