Gyong

1. 전단사 함수

• 두 집합의 원소를 모두 일대일로 대응시키는 함수

한 칩합의 각 원소는 반드시 다른 집합의 하나의 원소에 대응되고 두 번째 집합의 각 원소는 반드시 첫 번째 집합의

한 원소에 대응되어야 하며 짝을 이루지 못한 원소가 없어아 된다.

1) 특징

• 일대일 함수에 치역과 공역이 일치한다는 조건이 추가되면, 일대일 대응이 됨. 

만일, 대응되는 두 집합이 유한집합이면 원소의 개수가 동일하게 됨 또한, 짝을 이루는 역함수가 반드시 존재함

먼저 여러가지 집합의 기호와 의미에 대해서 알아보자

소수 집합    = P

자연수 집합 = N

정수 집합    = Z

유리수 집합 = Q

실수 집합    = R 

복소수 집합 = C

정도가 있다.

1. 실수 집합

실수 집합은 다음의 세 공리를 만족하는 집합으로 정의한다.

• 체 공리
• 순서 공리
• 완비성 공리

체 : 원소들의 집합을 이루면서 덧셈과 곱셈 2개의 연산자를 자유롭게 사용할 수 있고, 각 원소가 0이 아닌 원소로

나눌 수 있는 대수적 구조

체의 응용 : 실수 R, 유리수 Q 와 같은 수 집합 체계에 대한 추상황에 유용함.

즉, 유리수 집합을 체로서 다룰 때는 유리수 체라고 함.

체 공리

• 덧셈 연산에 대해

1) 닫혀있음 : 집합 내 원소의 +의 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨

2) 덧셈 항등원이 존재 (identity) : a + 0 = a = 0 + a

3) 모든 성분에 대해 덧셈 역원이 존재 (inverse) : a + (-a) = 0 = (-a) + a

4) 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 : (a + b) + c = a + (b + c)

5) 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 : a + b = b + a

• 곱셈 연산에 대해

1) 닫혀있음 : 집합 내 원소의 *의 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨

2) 곱셈 항등원이 존재 (identity) : a * 1 = a = 1 * a

3) 0 이외의 모든 성분에 대해 곱셈 역원이 존재 (inverse) : a a^-1 = 1 = a^-1 a

4) 0 이외의 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 : (a b) c = a (b c)

5) 0 이외의 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 : a b = b a

덧셈에 대한 곱셈 연산의 분배법칙이 성립 : a (b + c) = a b + a c

순서 공리

실수 집합에서 각 수들에 "크기"가 있다는 공리. 즉, 1은 2보다 작다. 3은 2보다 크다 같은 말.

완비성 공리

R의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다. -> 상한공리

2. 체의 성질

체는 최소 아래 두 요소 만으로도 구성 가능

• 덧셈 항등원
• 곱셈 항등원

체의 대수적 구조에서 응용상 중요한 성질 : 각 원소가 역원을 가진다.