Gyong

1. 벡터 공간의 차원의 의미

벡터공간 V가 n개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는다면, V의 차원을 n이라고 한다.

또한 V의 차원을 dim V로 표시한다.

dim은 차원이라 생각하면 된다.

벡터공간 -> V의 기저의 원소개수

-> 벡터공간 V의 선형독립이 되는 최대 개수

-> 벡터공간 V의 차원 = dim V

한 벡터공간에 대한 차원을 구해보자

V= {(a, b, c, d) | a = b = c}라 하였을 때

먼저 a, b, c가 같기 때문에 (1,1,1)로 고정을 시킨다.

d는 a,b,c와 같다고 표시 되어있지 않고 따로 있기 때문에 0으로 채워진다.

그러면 ( 1, 1, 1, 0)이 나오게되는데, 이런식으로 0으로 따로 채워지게 되면 0으로 된 부분만 다시 만들어줘야한다.

d를 다시 만들어주게되면 (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0 ,1)이 나오게 되고,

이 공간의 기저는{(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0 ,1)} : 2차원이 된다.

여기서 (1, 1, 1, 0) 공간이 왜 (0, 0, 0, 1)의 기저냐?

예를 들어 (2, 2, 2, 3)가 있다고 치면 (1, 1, 1, 0)의 2배 (0, 0, 0, 1)의 3배가된다.
이 두 개를 합치게 되면 (2, 2, 2, 3)가 나온다.

따라서 (1, 1, 1, 0)와(0, 0, 0, 1)으로 모든 원소를 표현할 수 있게 된다고 볼 수 있다.

1. 선형 독립

• 벡터 x1, x2, ... , xn이 있을 때, 만약 모든 계수가 0인 경우를 제외하고 어떠한 선형 조합으로도 0을 만들 수 없다면이 벡터들은 독립이다.
  벡터공간 V의 부분집합 {v1, v2, ..., vn}과 임의의 실수 a1, a2, ..., an에 대해
  a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0이라 할 때, a1 = a2 = ... = an = 0이면 {v1, v2, ..., vn}은 선형 독립이라 한다.

2. 선형 의존

• 하나의 방정식이 다른 방정식의 합으로 표현 되는 경우, 그 방정식은 다른 방정식들에 대해 '선형 의존' 한다고 정의

3원 연립 방정식의 선형 의존 예

1) x - y + z = 1

2) 2x + y + 2z = 4

3) 4x + 3y + 4z = 6

다음 관계가 성립하므로,

4x + 3y + 4z

= 2(x + y + z) + 1(2x + y + 2z) = 2·1 + 1·4 = 6

위에서 3)의 방정식은 1), 2)의 방정식에 선형 의존적이다.

선형 의존인 방정식은 전체 해에 영향을 주지 않으므로 무시할 수 있다.

3. 선형 독립과 선형 의존의 차이

재료 벡터 안에 상수 벡터가 존재한다면 '해'가 존재하게 되는데, 해가 한 개인지 여러 개인지의 차이인 것 같다.
만약 존재하는 해가 한 개면 '선형 독립'이 되고 여러 개면 '선형 의존'이 된다.

1. 벡터의 선형 사상

선형사상은 두 벡터공간 사이에 정의되는 사상 가운데 벡터공간의 성질을 보존하는 선형성을 갖는 함수를 말한다.

여기서 선형은 "일차" 사상은 "함수"라고 생각하면 된다. 다른 말로 일차변환 또는 선형변환이라고도 한다. 

선형성의 조건에서는 "벡터의 합"과 "스칼라 곱"의 조건이 존재한다.

• 벡터의 합 조건 : f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2)
• 스칼라 곱 조건 : f(av) = af(v), 단 a는 임의의 실수

두 벡터공간 V와 W에 대하여 선형사상 f : V -> W 라고 하면, 백터의 합과 스칼라 곱을 만족하는 사상이 된다.

1. 선형성

선형성을 가지는 함수란 미분을 거듭하면 일차함수(직선)가 되는 함수를 의미한다.

어떤 함수, 연산이 선형성을 가지려면 아래와 같은 두 조건을 만족해야 한다.

1. Superposition(중첩의 원리) : f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
2. Homogeneity(동질성) : f(ax)=af(x) a는상수

이 두 가지를 합치면 아래와 같다.

일반화 시켜보면 아래와 같이 표현할 수 있다.

즉, 이것을 만족하면 선형성이 있는 것이다.

2. 연산(operation의 선형성

선형성을 갖는 연산의 대표적인 예로는 '미분'과 '적분'이 있다.

두개의 t에 관한 함수

에 대해서 선형성을 만족하기 위한 조건

에 f라는 함수 대신에 t에 관한 미분은 다음과 같다.

t에 관한 적분은 다음과 같다.

위와 같은 연산들은 모두 선형성을 갖는다.