함수의 종류와 고찰

1. 항등 함수의 의미

정의역과 공역이 같고, 정의역에 각 원소에 자기 자신이 대응되는 함수 .

y=x 즉, 정의역의 원소 x값과 치역의 값 f(x)는 항상 같다는 의미

 

 

2. 역함수의 의미

정의역과 치역의 대응관계가 반대로 되는 것을 의미

 

 

3. 왜 역함수가 존재하기 위한 조건이 Bijection(전단사 함수)인가?

역함수가 존재하기 위한 조건은 함수가 일대일대응 일 때만 존재한다.

위에서 전사 함수와 단사 함수는 역함수가 존재하기 위한 조건에 성립되지 않는다.

왜냐하면, 전사 함수 같은 경우는 X의 두 원소가 동시에 Y의 한 원소에 대응이 되기 때문이고,

단사 함수는 Y의 특정 원소가 대응관계를 이루지 못하기 때문이다.

전사 함수와 단사 함수에서 역함수를 생각하면 모든 y에 각각 x값 하나씩 대응되는 관계가 무너지게 된다.

하지만 전단사 함수는 X와 Y가 일대일 대응 관계로 이루어져 있기 때문에 역함수가 존재하기 위한 조건에 성립된다.

 

 

4. 합성 함수

두개의 함수(f, g)결합으로 만들어진 새로운 함수

 

5. 합성 함수의 역함수

 

두 함수 f(x), g(x)가 서로 역함수의 관계에 있다는 것은 두 함수를 합성한 새로운 함수가 항등함수가 된다는 것이다.

항등함수란 y=x 의 함수를 말한다.

(f · g) (x) = x 일 때, f(x)와 g(x)는 역함수의 관계이고,

로 표현한다.

 

그리고 두 함수를 합성한 함수의 역함수를 구할 때에는 다음과 같은 성질이 성립한다.

 

즉, 두 함수를 합성한 새로운 함수의 역함수는 두 함수를 역함수를 취하면서 자리까지 바꾸어 준 함수가 되는 것이다.