Gyong

1. 선형 독립

• 벡터 x1, x2, ... , xn이 있을 때, 만약 모든 계수가 0인 경우를 제외하고 어떠한 선형 조합으로도 0을 만들 수 없다면이 벡터들은 독립이다.
  벡터공간 V의 부분집합 {v1, v2, ..., vn}과 임의의 실수 a1, a2, ..., an에 대해
  a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0이라 할 때, a1 = a2 = ... = an = 0이면 {v1, v2, ..., vn}은 선형 독립이라 한다.

2. 선형 의존

• 하나의 방정식이 다른 방정식의 합으로 표현 되는 경우, 그 방정식은 다른 방정식들에 대해 '선형 의존' 한다고 정의

3원 연립 방정식의 선형 의존 예

1) x - y + z = 1

2) 2x + y + 2z = 4

3) 4x + 3y + 4z = 6

다음 관계가 성립하므로,

4x + 3y + 4z

= 2(x + y + z) + 1(2x + y + 2z) = 2·1 + 1·4 = 6

위에서 3)의 방정식은 1), 2)의 방정식에 선형 의존적이다.

선형 의존인 방정식은 전체 해에 영향을 주지 않으므로 무시할 수 있다.

3. 선형 독립과 선형 의존의 차이

재료 벡터 안에 상수 벡터가 존재한다면 '해'가 존재하게 되는데, 해가 한 개인지 여러 개인지의 차이인 것 같다.
만약 존재하는 해가 한 개면 '선형 독립'이 되고 여러 개면 '선형 의존'이 된다.

1. 벡터의 선형 사상

선형사상은 두 벡터공간 사이에 정의되는 사상 가운데 벡터공간의 성질을 보존하는 선형성을 갖는 함수를 말한다.

여기서 선형은 "일차" 사상은 "함수"라고 생각하면 된다. 다른 말로 일차변환 또는 선형변환이라고도 한다. 

선형성의 조건에서는 "벡터의 합"과 "스칼라 곱"의 조건이 존재한다.

• 벡터의 합 조건 : f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2)
• 스칼라 곱 조건 : f(av) = af(v), 단 a는 임의의 실수

두 벡터공간 V와 W에 대하여 선형사상 f : V -> W 라고 하면, 백터의 합과 스칼라 곱을 만족하는 사상이 된다.

1. 선형성

선형성을 가지는 함수란 미분을 거듭하면 일차함수(직선)가 되는 함수를 의미한다.

어떤 함수, 연산이 선형성을 가지려면 아래와 같은 두 조건을 만족해야 한다.

1. Superposition(중첩의 원리) : f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
2. Homogeneity(동질성) : f(ax)=af(x) a는상수

이 두 가지를 합치면 아래와 같다.

일반화 시켜보면 아래와 같이 표현할 수 있다.

즉, 이것을 만족하면 선형성이 있는 것이다.

2. 연산(operation의 선형성

선형성을 갖는 연산의 대표적인 예로는 '미분'과 '적분'이 있다.

두개의 t에 관한 함수

에 대해서 선형성을 만족하기 위한 조건

에 f라는 함수 대신에 t에 관한 미분은 다음과 같다.

t에 관한 적분은 다음과 같다.

위와 같은 연산들은 모두 선형성을 갖는다.

1. 항등 함수의 의미

정의역과 공역이 같고, 정의역에 각 원소에 자기 자신이 대응되는 함수 .

y=x 즉, 정의역의 원소 x값과 치역의 값 f(x)는 항상 같다는 의미

2. 역함수의 의미

정의역과 치역의 대응관계가 반대로 되는 것을 의미

3. 왜 역함수가 존재하기 위한 조건이 Bijection(전단사 함수)인가?

역함수가 존재하기 위한 조건은 함수가 일대일대응 일 때만 존재한다.

위에서 전사 함수와 단사 함수는 역함수가 존재하기 위한 조건에 성립되지 않는다.

왜냐하면, 전사 함수 같은 경우는 X의 두 원소가 동시에 Y의 한 원소에 대응이 되기 때문이고,

단사 함수는 Y의 특정 원소가 대응관계를 이루지 못하기 때문이다.

전사 함수와 단사 함수에서 역함수를 생각하면 모든 y에 각각 x값 하나씩 대응되는 관계가 무너지게 된다.

하지만 전단사 함수는 X와 Y가 일대일 대응 관계로 이루어져 있기 때문에 역함수가 존재하기 위한 조건에 성립된다.

4. 합성 함수

두개의 함수(f, g)결합으로 만들어진 새로운 함수

5. 합성 함수의 역함수

두 함수 f(x), g(x)가 서로 역함수의 관계에 있다는 것은 두 함수를 합성한 새로운 함수가 항등함수가 된다는 것이다.

항등함수란 y=x 의 함수를 말한다.

(f · g) (x) = x 일 때, f(x)와 g(x)는 역함수의 관계이고,

로 표현한다.

그리고 두 함수를 합성한 함수의 역함수를 구할 때에는 다음과 같은 성질이 성립한다.

즉, 두 함수를 합성한 새로운 함수의 역함수는 두 함수를 역함수를 취하면서 자리까지 바꾸어 준 함수가 되는 것이다.