Gyong

1. 직교 행렬

2. 직교 행렬의 성질

• 직교행렬의 전치행렬은 직교행렬이다.
• 직교행렬의 역행렬은 직교행렬이다.
• 직교행렬들의 곱은 직교행렬이다.

A가 직교하면 A의 역행렬은 A의 전치행렬이 된다.

A의 역행렬의 전치행렬은 A의 전치행렬의 전치행렬이므로 A의 역행렬의 역행렬이 된다.

따라서 A의 역행렬도 직교한다.

3. 전치 행렬이 왜 역행렬이 되는지 증명

전치 행렬과 역행렬은 서로 비슷한 의미인 것 같다.

전치행렬은 A 행렬의 주대각선을 기준으로 하여 뒤집는 얻는 행렬이고, 

역행렬은 전치행렬과 같이 기준이 따로 정해져 있는 것은 아니지만 A의 행렬을 뒤집어서(BA = AB)? 얻기 때문이다.

전치행렬에서 A 행렬을 뒤집어서 나온 결과가 뒤집기 전의 결과와 같고,

역행렬은 어떤 행렬의 A와 B를 곱해서 I가 나오게 되고, 여기서 B를 A의 역행렬이라고 한다.

수식으로

라고 표시 할 수 있다.

A의 역행렬에서 A를 곱하거나 반대로 A에서 A의 역행렬을 곱하게 되면 결과는 똑같이 I가 나오게된다.

전치행렬 역시 A의 전치행렬에서 A를 곱하거나 반대로 하여도 결과가 같기 때문이다.

따라서 개인적으로 비슷한 공식과 결과로 인해 전치행렬이 역행렬이 될 수 있다고 생각한다.

- 내적의 정의

두 벡터 a와 b의 내적은 스칼라 a · b = ||a|| ||b|| cos θ 이고,

여기서 θ는 두 벡터 사이의 각으로 그 범위는 0 ≤ θ ≤ π이다.

- 직교의 판정

영벡터가 아닌 두 벡터 a 와 b가 직교하기 위한 필요충분조건은 a · b = 0 이다.

a = -3i - j + 4k, b = 2i + 14j + 5k라 하면

a · b = (-3)(2) + (-1)(14) + (4)(5) = 0

이므로 a · b = 0에 의하여 a 와 b는 직교한다.

1. 표준 기저 벡터의 정의

기저벡터 중에서도 원소 중 하나만 값이 1이고 다른 값은 0으로 이루어진

다음과 같은 기저벡터를 표준기저벡터라고 한다.

표준기저벡터를 열로 가지는 행렬은 항등행렬이 된다.

그림 1에 나와있는 공간의 표준 기저는 (1, 0), (0, 1)이고,

이 공간의 모든 것들은 이 공간의 표준 기저로 인해 만들어지게 된다.

예를 들어

(4, 5)가 있으면 (1, 0)의 4배 (0, 1)의 5배가 되고 이 두 개를 합치게 되면 (4, 5)가 만들어지게 된다.

1. 벡터 공간의 차원의 의미

벡터공간 V가 n개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는다면, V의 차원을 n이라고 한다.

또한 V의 차원을 dim V로 표시한다.

dim은 차원이라 생각하면 된다.

벡터공간 -> V의 기저의 원소개수

-> 벡터공간 V의 선형독립이 되는 최대 개수

-> 벡터공간 V의 차원 = dim V

한 벡터공간에 대한 차원을 구해보자

V= {(a, b, c, d) | a = b = c}라 하였을 때

먼저 a, b, c가 같기 때문에 (1,1,1)로 고정을 시킨다.

d는 a,b,c와 같다고 표시 되어있지 않고 따로 있기 때문에 0으로 채워진다.

그러면 ( 1, 1, 1, 0)이 나오게되는데, 이런식으로 0으로 따로 채워지게 되면 0으로 된 부분만 다시 만들어줘야한다.

d를 다시 만들어주게되면 (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0 ,1)이 나오게 되고,

이 공간의 기저는{(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0 ,1)} : 2차원이 된다.

여기서 (1, 1, 1, 0) 공간이 왜 (0, 0, 0, 1)의 기저냐?

예를 들어 (2, 2, 2, 3)가 있다고 치면 (1, 1, 1, 0)의 2배 (0, 0, 0, 1)의 3배가된다.
이 두 개를 합치게 되면 (2, 2, 2, 3)가 나온다.

따라서 (1, 1, 1, 0)와(0, 0, 0, 1)으로 모든 원소를 표현할 수 있게 된다고 볼 수 있다.