직교행렬의 전치 행렬이 왜 역행렬이 되는지 증명

1. 직교 행렬

 

 

2. 직교 행렬의 성질

• 직교행렬의 전치행렬은 직교행렬이다.
• 직교행렬의 역행렬은 직교행렬이다.
• 직교행렬들의 곱은 직교행렬이다.

 

A가 직교하면 A의 역행렬은 A의 전치행렬이 된다.

A의 역행렬의 전치행렬은 A의 전치행렬의 전치행렬이므로 A의 역행렬의 역행렬이 된다.

따라서 A의 역행렬도 직교한다.

 

3. 전치 행렬이 왜 역행렬이 되는지 증명

 

전치 행렬과 역행렬은 서로 비슷한 의미인 것 같다.

전치행렬은 A 행렬의 주대각선을 기준으로 하여 뒤집는 얻는 행렬이고, 

역행렬은 전치행렬과 같이 기준이 따로 정해져 있는 것은 아니지만 A의 행렬을 뒤집어서(BA = AB)? 얻기 때문이다.

 

전치행렬에서 A 행렬을 뒤집어서 나온 결과가 뒤집기 전의 결과와 같고,

역행렬은 어떤 행렬의 A와 B를 곱해서 I가 나오게 되고, 여기서 B를 A의 역행렬이라고 한다.

수식으로

라고 표시 할 수 있다.

 

A의 역행렬에서 A를 곱하거나 반대로 A에서 A의 역행렬을 곱하게 되면 결과는 똑같이 I가 나오게된다.

전치행렬 역시 A의 전치행렬에서 A를 곱하거나 반대로 하여도 결과가 같기 때문이다.

따라서 개인적으로 비슷한 공식과 결과로 인해 전치행렬이 역행렬이 될 수 있다고 생각한다.