#6 평면의 방정식과 D의 의미 알아보기

1. 평면의 방정식

 

평면의 방정식은 아래처럼 기술할 수 있으며, (a, b, c)는 평면에 대한 법선(수직) 벡터이고

D는 이 법선 벡터의 길이(크기) 입니다. (x,y,z)는 평면상의 임의의 점이다.

 

점 (x1, y1, z1)을 지나고, 벡터 v = ( a, b, c )에 수직인 평면의 방정식은

a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0

-> ax + by + cz - (ax1 + by1 + cz1) = 0

-> ax + by + cz + d = 0

 

평면은 최소한 점 3개가 정해지면 평면의 방정식이 명확히 정의된다. 즉, 평면 상의(x1,y1,z1)과(x2, y2, z2) 그리고

(x3, y3, z3)가 정해지면 위의 공식에서 A, B, C, D의 값이 정해진다는 의미이다. 

 

<D의 의미>

평면의 방정식 기본형 : ax + by + cz + d = 0 

위 공식에서 D는 원점부터 평면까지의 거리를 의미한다.

구하는 방법은 평면의 정규화된 법선 벡터와 평면 위 지점 내적으로 계산하면된다.

 

세 점 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3)를 지나는 평면의 방정식

ax + by + cz + d = 0

 

a = y1(z2 - z3) + y2(z3 - z1) + y3(z1 - z2)

b = z1(x2 - x3) + z2(x3 - x1) + z3(x1 - x2)

c = x2(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)

d = -(x1(y2 x3 - y3 z2) + x2(y2 x1 - y1 z3) + x3(y1 x2 - y2 z1))