지수 함수, 맥클로린 급수

지수 함수를 알기 전에 다음과 같은 지식을 알고 있는 상태로 진행을 하면 좋다.

먼저 알아야 될 것은 자연 상수(Euler's Number)이다.

 

예)

자연 상수e는 원주율처럼 무리수에 해당이 되고, n이 무한대로 커지면 커질수록 e의 값에 가까워진다고 생각하면 된다.

 

쉽게 말해 무리수이자 상수이며, 자연 상수라고 표현할 수 있으며,

 

자연 상수 e는 자연의 연속 성장을 표현하기 위해 고안된 상수라고 할 수 있다.

 

조금 더 구체적으로는 100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때 얻게되는 성장량을 의미한다.

 

또 자연 상수 e라는 것은 e의 범위, e의 값, 무리수 e 이 세 가지를 통해 얻어진다.

자연 상수 e의 특징으로 들어보자면 다음과 같은 식을 미분을 하게 되면 결과는 어떻게 나오게 될까??

 

 

결과는 똑같은 e^x가 나오게 된다.

 

왜냐하면 이처럼 e^x를 미분을 하게 되면 e의 정의의 특성상 자기 자신이 되기 때문이다.

반대로 말하면 미분한 것이 자기 자신이 되는 함수가 e^x라고도 할 수 있다.

 

다른 예를 들어보자

f(x) = cosx을 미분을 하게 되면 f(x) = -sinx가 되고 f(x) = sinx을 미분을 하면 f(x) = cosx가 된다.

 

미분에 대해서 알아보던 중 미분의 경우 앞에 co가 붙은 함수 즉,

cos, csc, cot 이 세 가지 함수를 미분을 하면 결과에 마이너스가 붙는다고 한다.

 

따라서 f(x) = -sinx를 미분을 하게 되면 f(x) = -cosx가 되고, f(x) = cosx를 미분을 하면 f(x) = -sinx가 된다.

 

그럼 이번에는 지수함수(e^x), sinx, cosx 함수를 맥클로린 급수로 전개해보자

• 지수함수(e^x)

 

• sinx

 

• cosx

여기서 왜 cosx를 미분하면 -sinx가 나오고 sinx를 미분하면 cosx가 나오는지 각각 미분을 통해 알아보자

 

• cos(x)

 

• sin(x)

 

다음은 sinx + cosx의 맥클로린 급수 전개 결과와 지수함수 전개 결과가 같기 위한 조건은 무엇인지 생각하고,

이것이 오일러 공식임을 정리해보자

• sinx + cosx

둘이 거의 비슷하긴 한데 한 가지 다른 점은 sinx + cosx는 - - + +가 주기적으로 반복이 된다는 것이다.

 

또 sinx + cosx 와 지수함수(e^x)랑은 묘한 유사 관계가 있다고 볼 수 있다.

 

여기서 오일러라는 수학자가 sinx + cosx 와 지수함수(e^x)랑 같게 만드는 방법을 찾았는데,

그것은 바로 다음과 같이 허수를 사용하는 것이다.

이런식으로 허수를 대입하게 되면 서로 같아진다는 일치 관계를 발견하여 이것을 오일러 공식이라고 정했다고 한다.

 

이제 오일러의 공식으로 유도된 값은 회전에 해당하는 복소수와 동일함을 이용하여,

e^iθ는 또다른 회전의 표현임을 정리해보자.

 

회전

위에 회전 공식을 다음과 같이 바꿔 쓸 수가 있고,

또 이것은 e^iθ와 똑같다고 할 수가 있다.

 

이로써 자연 상수의 허수는 회전을 의미한다고 할 수 있다.

 

위의 정리를 활용해 두 회전의 곱은 두 각의 합과 동일한 결과임을 정리해보면

 

가 나오게 되고 이 결과를 보면 처음에 짚고 넘어가야 할 부분의 값과 같은 것을 확인할 수가 있다.