벡터 공간의 차원의 의미

1. 벡터 공간의 차원의 의미

벡터공간 V가 n개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는다면, V의 차원을 n이라고 한다.

또한 V의 차원을 dim V로 표시한다.

 

dim은 차원이라 생각하면 된다.

 

벡터공간 -> V의 기저의 원소개수

-> 벡터공간 V의 선형독립이 되는 최대 개수

-> 벡터공간 V의 차원 = dim V

 

한 벡터공간에 대한 차원을 구해보자

V= {(a, b, c, d) | a = b = c}라 하였을 때

 

먼저 a, b, c가 같기 때문에 (1,1,1)로 고정을 시킨다.

d는 a,b,c와 같다고 표시 되어있지 않고 따로 있기 때문에 0으로 채워진다.

그러면 ( 1, 1, 1, 0)이 나오게되는데, 이런식으로 0으로 따로 채워지게 되면 0으로 된 부분만 다시 만들어줘야한다.

d를 다시 만들어주게되면 (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0 ,1)이 나오게 되고,

이 공간의 기저는{(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0 ,1)} : 2차원이 된다.

 

 

여기서 (1, 1, 1, 0) 공간이 왜 (0, 0, 0, 1)의 기저냐?

예를 들어 (2, 2, 2, 3)가 있다고 치면 (1, 1, 1, 0)의 2배 (0, 0, 0, 1)의 3배가된다.
이 두 개를 합치게 되면 (2, 2, 2, 3)가 나온다.

따라서 (1, 1, 1, 0)와(0, 0, 0, 1)으로 모든 원소를 표현할 수 있게 된다고 볼 수 있다.