선형성을 가지는 함수의 유형

1. 선형성

선형성을 가지는 함수란 미분을 거듭하면 일차함수(직선)가 되는 함수를 의미한다.

 

어떤 함수, 연산이 선형성을 가지려면 아래와 같은 두 조건을 만족해야 한다.

1. Superposition(중첩의 원리) : f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
2. Homogeneity(동질성) : f(ax)=af(x) a는상수

이 두 가지를 합치면 아래와 같다.

 

일반화 시켜보면 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

즉, 이것을 만족하면 선형성이 있는 것이다.

 

2. 연산(operation의 선형성

선형성을 갖는 연산의 대표적인 예로는 '미분'과 '적분'이 있다.

 

두개의 t에 관한 함수

에 대해서 선형성을 만족하기 위한 조건

에 f라는 함수 대신에 t에 관한 미분은 다음과 같다.

 

t에 관한 적분은 다음과 같다.

위와 같은 연산들은 모두 선형성을 갖는다.